考研数学公式，
正弦或余弦的正整数幂的不定积分，并不存在统一的公式。但是分情况讨论后，还是可以归纳出公式来的。其中当指数是奇数时，公式相对简单，老黄上一篇文章中已经给大家分享了。这里要继续分享超麻烦的偶指数公式。先探究余弦的情况：
探究1：求I_(2m)=∫(cosx)^2mdx，m∈N*.
【奇指数可不需要记这个I，可见偶指数难度提升了不少。当然，不需要你自己去探究公式，只需要记下老黄推导的公式的话，就不会发现它的难点的，过程如果出错，以图为准】
解：I_(2m)=∫(cosx)^(2m)cscxsinxdx
【余割和正弦是互为倒数，相乘等于1】
=-∫(cosx)^(2m)cscxdcosx
【利用了dcosx=-sinxdx】
=-(cosx)^(2m+1)cscx+∫cosxd((cosx)^(2m)cscx)
【分部积分公式的运用，注意符号的变化】
=-(cosx)^(2m+1)cscx-∫(2m*(cosx)^2+(cosx)^(2m+1)cscxcotx)dx
【把上一步的微分部分求出来的结果】
=-(cosx)^(2m+1)cscx-2m*I_(2m)-∫(cosx)^(2m+2)(cscx)^2dx
【把上面的cotx化成了cosxcscx，就能凑成这个样子】
=-(cosx)^(2m+1)cscx-2m*I_(2m)+∫(cosx)^(2m+2)dcotx.
【利用了(cscx)^2dx=-dcotx】
(2m+1)*I_(2m)=-(cosx)^(2m+1)cscx+∫(cosx)^(2m+2)dcotx
【对上面的结果进行了移项合并同类项I_(2m)】
=-(cos)^(2m+1)(cscx-cosxcotx)-∫cotxd(cosx)^(2m+2)
【又应用了一次分部积分法，还合并了前面两项，进行因式分解】
=-sinx(cosx)^(2m+1)+(2m+2)I_(2m+2).
【其中sinx=cscx-cosxcotx，并将上面的凑分部分解出来，就可得了这样一个递增的公式，没有关系，移项化一化，就可以反过来变成递减的了】
所以(2m-1)*I_(2m-2)=-sinx(cosx)^(2m-1)+2m*I_(2m)
【这是用m-1代替上面的m】
∴I_(2m)=((2m-1)I_(2m-2)+sinx(cox)^(2m-1))/2m
【递减公式就出来了】
=((2m-1)(2m-3))/(2m(2m-2))I_(2m-4)+sinx(((2m-1)*(cosx)^(2m-3))/(2m(2m-2))+(cosx)^(2m-1))/2m)
【继续嵌套I_(2m-4)的结果，式子已经很复杂了，但我们还要这样不断地嵌套下去，一直到m等于1为止，就可以解出这个不定积分了】
=…=(2m-1)x/((2m))+sinx*∑(i=1->m)((2m-2i)(2m-1)(cosx)^(2m-2i+1))/((2m)(2m-2i+1))+C.
【这就是最后的公式，你瞧吓人不吓人！下面用图片展示，会省略掉部分步骤】
由于内容已经很长很复杂，下面例题和练习部分，全部只用图片的形式展示。但是老黄仍有部分讲解，特别是包含最关键求正弦偶数次幂不定积分公式的部分。
例1：求∫(cosx)^4dx.
例1运用了两种方法，方法一是一般的解法，并不难，关键是公式中的m=2，很小，大了用一般解法就解不了。解法二运用了公式，得到的结果可以转化成展开式的形式。
例2：求∫(cosx)^100dx.
例2的m=50，如果不用老黄的公式，不信你能解出来！呵！当然如果你喜欢的话，尽可以挑战一下。接下来探究正弦的偶指数幂的不定积分。并不需要再进行一篇探究1那样的复杂过程，只需运用sin(x+π/2)=cosx，以及cos(x+π/2)=-sinx，就可以利用上面的公式巧妙地推出来了。
探究2：求∫(sinx)^2mdx，m∈N*.
解：原积分=∫(cos(x+π/2))^(2m)d(x+π/2)=∫(cost)^2mdt
【这里有一个换元t=x+π/2】
=(2m-1)t/((2m))+sint*∑(i=1->m)((2m-2i)(2m-1)(cost)^(2m-2i+1))/((2m)(2m-2i+1))+C1
【还要换元换回来，由于最后还有出现一个常数项，所以这里用C1，而不用C】
=(2m-1)x/((2m))-cosx*∑(i=1->m)((2m-2i)(2m-1)(sinx)^(2m-2i+1))/((2m)(2m-2i+1))+C.
【这才是最后的公式，除了正弦和余弦与前面的公式互调之外，中间还有一个符号的变化】
下面是例3.你可以对结果求导，虽然很麻烦，但求得出来结果很解压，有太多巧合，像上帝设计好的一样。
再来一道练习，和上一篇文章最后的练习很相似。它其实涉及偶数幂函数与反正弦函数积的不定积分公式。
练习：求∫x^7arcsinxdx.
老黄这样的文章，能看得下去的人很少，能看得下去的人都很厉害，老黄就是为能看得下去的人服务的。
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